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導讀：
數(shù)學提高之從數(shù)列遞推到N球配對問題
本篇給出求簡單遞推數(shù)列通項公式的通用解法，并由此思路解一個老題
以下記A(N)為數(shù)列第N項
1、已知A1=1，A(N)=2A(N-1)+1，求數(shù)列通項公式
解：由題意，A(N)+1=2[A(N-1)+1]
即 A(N)+1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列
因此 A(N)+1=2^N
數(shù)列通項公式為 A(N)=2^N-1
2、通用算法
已知A1=M，A(N)=P*A(N-1)+Q，P《》1，求數(shù)列通項公式
解：設 A(N)+X=P*[A(N-1)+X]
解得 X=Q/(P-1)
因此 A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)為首項，P為公比的等比數(shù)列
由此可算出A(N)通項公式
3、已知A1和A2， A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2)，求數(shù)列通項公式
解題思路：設 A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]
代入原式可得出兩組解，對兩組X，Y分別求出
A(N)+X*A(N-1)的通項公式
再解二元一次方程得出A(N)
注：可能只有一組解，但另有解決辦法。
4、現(xiàn)在用上面的思路來解決一個著名的問題：
N個球和N個盒子分別編號從1到N，N個球各放入一個盒子，求沒有球與盒子編號相同的放法總數(shù)。
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